51Nod1355 斐波那契的最小公倍数

Problem

斐波那契的最小公倍数


Description

斐波那契数列定义如下:

给出 个正整数 ,求对应的斐波那契数的最小公倍数,由于数字很大,输出模 的结果即可。
例如: , 对应的斐波那契数为: , 他们的最小公倍数为

Input

个数 ,表示数字的数量。( )。
行每行 个数,对应 。( )。

Output

输出 的结果。

Input示例

1
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3
4
5
4
1
3
6
9

Output示例

1
136

标签:Min-Max容斥

Solution

烂大街的套路题,我居然没见过
%%%张一钊
以下内容均转载自某乎。

因为是斐波那契数列,有
容斥可得
于是
构造 ,使得 ,则
即有
考虑 的指数的意义,可知

因而 ,若知道可在 时间内计算( 为值域即 )。
定义式中的 单独拿出来,有 ,时间复杂度由于是调和级数也为
总复杂度

Code

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#include <bits/stdc++.h>
#define MX 1000000
#define P 1000000007
using namespace std;
typedef long long lnt;
template <class T> inline void read(T &x) {
x = 0; int c = getchar(), f = 1;
for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == 45) f = -1;
for (; isdigit(c); c = getchar()) (x *= 10) += f*(c-'0');
}
int n; bool mrk[MX+5];
lnt f[MX+5], g[MX+5];
lnt inv(lnt x) {
lnt k = P-2, ret = 1;
for (; k; k >>= 1, x = x*x%P)
if (k&1) ret = ret*x%P;
return ret;
}
void init() {
f[1] = f[2] = g[1] = g[2] = 1;
for (int i = 3; i <= MX; i++)
f[i] = g[i] = (f[i-2]+f[i-1])%P;
for (int i = 1; i <= MX; i++) {
lnt invg = inv(g[i]);
for (int j = i+i; j <= MX; j += i)
g[j] = g[j]*invg%P;
}
}
int main() {
read(n), init(); lnt ans = 1;
for (int i = 1, x; i <= n; i++)
read(x), mrk[x] = true;
for (int i = 1; i <= MX; i++) {
bool flag = false;
for (int j = i; j <= MX; j += i)
if (mrk[j]) {flag = true; break;}
if (flag) ans = ans*g[i]%P;
}
return printf("%lld\n", ans), 0;
}
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